Question

某企业生产A、B两种产品，根据市场调查，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：单位是万元）

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数，写出它们的函数关系式．
（2）现企业有20万元资金全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这20万元资金，能使获得的利润最大，其最大利润是多少万元？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设A、B两种产品的利润与投资x的函数关系分别为f（x），g（x）写出函数的表达式，利用条件求出函数的解析式．
（2）设有x（0≤x≤20）万元投入A产品，则有（20-x）万元投入B产品，所得利润y=

1

2

x+2

20-x

（0≤x≤20），利用换元法以及二次函数闭区间上的最值求解即可．

解答： 解：（1）设A、B两种产品的利润与投资x的函数关系分别为f（x），g（x）
依题意可设f(x)=kx(k＞0)，g(x)=m

x

(m＞0)
由已知f（2）=1，g（1）=2可得k=

1

2

，m=2
∴f(x)=

1

2

x(x≥0)，g(x)=2

x

(x≥0)…（6分）
（2）设有x（0≤x≤20）万元投入A产品，则有（20-x）万元投入B产品
所得利润y=

1

2

x+2

20-x

（0≤x≤20）…（8分）
令t=

20-x

∈[0，2

5

]则x=20-t2
∴y=

1

2

(20-t2)+2t

y= 1 2 (20-t2)+2t =- 1 2 t2+2t+10 =- 1 2 (t-2)2+12

∵t∈[0，2

5

]，
∴当t=2时，y_max=12此时x=16
答：A产品投入16万元，B产品投入4万元，能使获得的利润最大，最大利润为12万元．…（12分）

点评：本题考查函数的综合应用，换元法以及二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．