题目内容

在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
tanC
tanA
+
tanC
tanB
=1，则cosC的最小值为
 
．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：已知等式左边利用同角三角函数间基本关系切化弦后，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到c2=
1
3
（a2+b2），代入表示出的cosC中，利用基本不等式即可求出cosC的最小值．
解答： 解：∵
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R，cosC=
a2+b2-c2
2ab
，且
tanC
tanA
+
tanC
tanB
=1，
∴
tanC
tanA
+
tanC
tanB
=tanC•（
cosA
sinA
+
cosB
sinB
）=tanC•
sin(A+B)
sinAsinB
=
sin2C
cosCsinAsinB
=
c2
a2+b2-c2
2ab
•ab
=
2c2
a2+b2-c2
=1，
整理得：a2+b2=3c2，即c2=
1
3
（a2+b2），
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
a2+b2-
1
3
(a2+b2)
2ab
=
a2+b2
3ab
≥
2ab
3ab
=
2
3
，
则cosC的最小值为
2
3
．
故答案为：
2
3
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinB=3csinA，c=2，且c，a-1，b+2依次成等比数列．
（1）求a的大小；
（2）求cos（2A+
π
3
）的值．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足b（b-
2
c）=a2-c2．且
AB
•
BC
≥0．
（1）求A的值；
（2）若a=
2
，求b-
2
c的取值范围．
函数y=ln（1-x2）的值域为
 
．
若程序框图如图所示，则输出的结果是
 
．
∫
1
0
3
2
x
dx+
∫
1
0
1-x2
dx=
 
．
已知复数z=
1-ai
i
（其中i是虚数单位）为纯虚数，则实数a等于
 
．
设变量x，y满足约束条件
x+2y≥2
2x+y≤4
4x-y≥-1
，则23x-y的取值范围是
 
．
已知i为虚数单位，则复数
2+i
i
在复平面内所对应的点在（　　）
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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