Question

4．设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=4csinA，若△ABC的面积S=10，b=4，则a的值为$\frac{25}{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知的等式，根据A为三角形的内角，得到sinA不为0，等式两边同时除以sinA，得到tanC，由C为三角形的内角，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可得解a的值．

解答 解：∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴4csinA=3acosC变形为：4sinCsinA=3sinAcosC，
又∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，
∴4sinC=3cosC，即tanC=$\frac{3}{4}$，
∵C为三角形的内角，可得：cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{4}{5}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$，
∵b=4，S=10=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×a×4×$$\frac{3}{5}$，
∴解得：a=$\frac{25}{3}$．
故答案为：$\frac{25}{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．