Question

10．函数f（x）=-x³+ax²-x-1在R上不单调，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• C． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• D． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 求出函数的导数，由题意得函数的导数在R上至少有一个零点，主要不能有两个相等的零点，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=-x³+ax²-x-1，
∴f′（x）=-3x²+2ax-1，
∵若函数f（x）=-x³+ax²-x-1在R上不是单调函数
∴f′（x）=-3x²+2ax-1=0有两个不等的根，
即△=4a²-12＞0，
解得a＜-$\sqrt{3}$，或a＞$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于基础题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解．