Question

已知命题p：关于x的方程x²-mx-2=0在x∈[0，1]有解；命题q：f（x）=log₂（x²-2mx+

1

2

）在x∈[1，+∞）单调递增；若“￢p”为真命题，“p∨q”是真命题，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：推理和证明

分析：首先，gj命题p为真命题时，求得实数m的取值范围，然后，再根据命题q真命题，得实数m的取值范围．最后，根据条件：?p为真命题，p∨q是真命题，得到p假q真，可得到实数m的取值范围．

解答： 解：命题p：关于x的方程x²-mx-2=0在x∈[0，1]有解，令f（x）=x²-mx-2，则f（0）=-2，∴f（1）=-m-1＞0
解得 m≤-1．故命题P：m≤-1，∴￢p：m＞-1
命题q：f（x）=log₂（x²-2mx+

1

2

）在x∈[1，+∞）单调递增，
?x²-2mx+

1

2

＞0在区间[1，+∞）上恒成立，且函数y=x²-2mx+

1

2

在区间[1，+∞）上单调递增，
根据x²-2mx+

1

2

＞0在区间[1，+∞）上恒成立，得m＜

3

4

．由函数y=x²-2mx+

1

2

＞0，在区间[1，+∞）上单调递增，得m≤1，故命题q：m＜

3

4

．
又∵?p为真命题，p∨q是真命题，得到p假q真，∴-1＜m＜

3

4

故答案为：（-1，

3

4

）

点评：本题考查了复合命题的判断，复合函数的单调性，属于中档题．