Question

2．已知函数$f（x）=ln\frac{ex}{2}-f'（1）•x$，g（x）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{2a}{x}$-f（x） （其中a∈R）．
（1）求 f（x）的单调区间；
（2）若函数 g（x）在区间[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），从而求出函数的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出g（x）的导数，即2x²-x+2a≥0在[2，+∞）上恒成立，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）∴$f'（x）=\frac{1}{x}-f'（1）$，∴f'（1）=1-f'（1）
∴$f'（1）=\frac{1}{2}$∴$f（x）=ln\frac{ex}{2}-\frac{1}{2}x$（2分），
∴$f（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$（3分）
∴当∴0＜x＜2时，∴f'（x）＞0；
当∴x＞2时，∴f'（x）＜0． （5分）
∴f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为 （2，+∞）．（6分）
（2）$g（x）=2x-\frac{2a}{x}-ln\frac{ex}{2}$，
则 $g'（x）=2-\frac{1}{x}+\frac{2a}{x^2}=\frac{{2{x^2}-x+2a}}{x^2}$，（8分）
由题意可知 $\frac{{2{x^2}-x+2a}}{x^2}≥0$在[2，+∞）上恒成立，
即2x²-x+2a≥0在[2，+∞）上恒成立，（9分）
因函数u（x）=2x²-x+2a开口向上，且对称轴为$x=\frac{1}{4}$，
故 u（x）在[2，+∞）上单调递增，
因此只需使 u（2）≥0，解得 a≥-3；                   （11分）
易知当 a=-3时，g'（x）≥0且不恒为0．
故a≥-3．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．