已知数列{an}满足an=logn+1(n+2)(n∈N*).定义:使乘积a1.a2.a3.-ak为正整数的k叫做“期盼数 .则在区间[1.2015]内所有的“期盼数的和为( )A．2036B．4072C．4076D．2026 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知数列{a_n}满足a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义：使乘积a₁，a₂，a₃，…a_k为正整数的k叫做“期盼数”，则在区间[1，2015]内所有的“期盼数”的和为（　　）

A．

2036

B．

4072

C．

4076

D．

2026

分析由题意，及对数的换底公式知，a₁•a₂•a₃…a_k=log₂（k+2），结合等比数列的前n项和进行求解即可．

解答解：∵a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
∴由a₁•a₂…a_k为整数得1•log₂3•log₃4…log_k（k+2）=log₂（k+2）为整数，
设log₂（k+2）=m，则k+2=2^m，
∴k=2^m-2；
∵2¹¹=2048＞2015，
∴区间[1，2015]内所有“期盼数”为：2¹-2，2²-2，2³-2，2⁴-2，…，2¹⁰-2，
其和M=2¹-2+2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$-10=2¹¹-2-20=2026．
故选D．

点评本题以新定义“期盼数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．

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