Question

11．已知函数f（x）=4^x-a•2^x+b，当x=1时，f（x）有最小值-1；
（1）求a，b的值；            
（2）求满足f（x）≤35的x的集合A．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x（t＞0）换元，然后利用二次函数的性质列式求得a，b的值；
（2）由f（x）≤35求解2^x的范围，再求解指数不等式得答案．

解答 解：（1）令t=2^x（t＞0），
则原函数化为y=t²-at+b，则当t=$\frac{a}{2}$时，函数取得最小值-1．
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=2}\\{{2}^{2}-2a+b=-1}\end{array}\right.$，解得a=4，b=3；     
 （2）由（1）得，f（x）=4^x-4•2^x+3，
由f（x）≤35，得4^x-4•2^x+3≤35，即（2^x）²-4•2^x-32≤0，
解得-4≤2^x≤8，即x≤3．
∴满足f（x）≤35的x的集合A={x|x≤3}．

点评 本题考查指数不等式的解法，训练了复合函数值域的求法，是中档题．