Question

如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，．

（1）证明：平面；
（2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．

Answer 1

（1）见解析.（2）当点为棱的中点时，平面．证明见解析.

试题分析：（1）要证明线面垂直，须证明直线与平面内的两条相交直线都垂直，一般要遵循“先找再作”的原则，对图形进行细致分析是关键.注意到，得到．
由侧棱底面，得到．从而得到平面．，
利用，得到．结合四边形为正方形．
得到．推出平面．
（2）对于这类存在性问题，往往是先通过对图形的分析，找“特殊点”，肯定其存在性，再加以证明.
注意到当点为棱的中点时，取的中点，连、、，利用三角形相似，得到平面及平面，利用平面平面．推出平面．
试题解析：（1）∵，∴．
∵侧棱底面，∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴，
∵，则．                                     4分
在中，，，∴．
∵，∴四边形为正方形．
∴．                                                  6分
∵，∴平面．                           7分
（2）当点为棱的中点时，平面．                  9分
证明如下：
如图，取的中点，连、、，

∵、、分别为、、的中点，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．　　　　                11分
同理可证平面．                   12分
∵，
∴平面平面．                   13分
∵平面，
∴平面．                          14分