Question

对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.

（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；

（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；

（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.

Answer 1

（1）∵，

由，得，即可得

∴的渐近线方程为

（2）设，，又、，

∴直线的方程为…………①

直线的方程为…………②

由①②得∵ 在双曲线上∴，∴

（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，

设、的坐标分别为、

则由得，

即，当时，

∵

∴，

，由 知 ，

∴

∵双曲线的伴随曲线是圆，圆上任意一点到的距离，∴

∵ ∴对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得