Question

10．已知圆C：x²+y²-6x-8y+24=0和两点A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}=0$，则m的最大值与最小值之差为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 圆C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，运用向量的加减和数量积运算可得，m²=a²+b²=|OP|²，m的最值即为|OP|的最值，由圆上一点与圆外一点的距离的最值性质，即最值为d±r，即可得到所求差．

解答 解：圆C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），
由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，
可得（a+m）（a-m）+b²=0，
即m²=a²+b²=|OP|²，
m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．
m的最小值即为|OP|的最小值，等于|OC|-r=5-1=4．
则m的最大值与最小值之差为6-4=2．
故选：B．

点评 本题考查实数的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量数量积的坐标表示和两点距离公式的运用，以及圆上一点与圆外一点的距离的最值性质是解题的关键．