Question

已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），a₁，a₂，a₄恰为等比数列{b_n]的前3项，且b₄=8
（1）求数列{a_n}，{b_n]的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出(a1+d)2=a1(a1+3d)2，解得a₁=d，从而得到数列{b_n}的公比为2，又b₄=8，解得d=1，由此能求出a_n=n，bn=2n-1．
（2）由cn=anbn=n•2n-1，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： （1）解：∵差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
a₁，a₂，a₄恰为等比数列{b_n]的前3项，
∴(a1+d)2=a1(a1+3d)2，解得a₁=d，
∴数列{b_n}的公比为2，又b₄=8，∴8d=8，解得d=1，
∴a_n=n，bn=2n-1．
（2）解：cn=anbn=n•2n-1，
Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1，①
2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴Sn=(n-1)•2n+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．