Question

已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，1），B（3，2），C（5，4）
（1）求边AB上的高所在直线的方程；
（2）若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．

Answer 1

考点：直线的截距式方程,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；
（2）设直线l的方程为：

x

a+1

+

y

a

=1，即y=-

a

a+1

x+a，利用斜率计算公式可得kAC=

3

4

，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得-

a

a+1

=

3

4

，解得即可．

解答： 解：（1）∵kAB=

1

2

，
∴边AB上的高所在直线的斜率为-2，
又∵直线过点C（5，4），
∴直线的方程为：y-4=-2（x-5），即2x+y-14=0．
（2）设直线l的方程为：

x

a+1

+

y

a

=1，即y=-

a

a+1

x+a，
∵kAC=

3

4

，∴-

a

a+1

=

3

4

，解得：a=-

3

7

，
∴直线l的方程为：

x

4 7

+

y

- 3 7

=1．
∴直线l过点(

4

7

，0)，(0，-

3

7

)，三角形斜边长为

( 4 7 )2+( 3 7 )2

=

5

7

∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为

5

7

+

4

7

+

3

7

=

12

7

．

点评：本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．