Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面EFG∥平面ABCD，AE⊥平面ABCD，EF⊥AE，AE=AB=AD，EG=BC，且EF=2EG．
（Ⅰ）求证：GD∥平面BCF；
（Ⅱ）求直线AG与平面GFCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得EF∥AB，EG∥AD，四边形ABCD为平行四边形，从而平面BCF∥平面ADGE，由此能证明GD∥平面BCF．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出直线AG与平面GFCD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面EFG∥平面ABCD，
平面EFG∩平面ABFE=EF，平面ABCD∩平面ABFE=AB，
∴EF∥AB，同理，EG∥AD，
又∵EF=AB，∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BF∥AE，
又∵AD∥BC，AD∩AE=A，BC∩BF=B，
∴平面BCF∥平面ADGE，
又∵GD?平面BCF，GD?平面BCF，
∴GD∥平面BCF．
（Ⅱ）解：由题意知AB，AD，AE两垂直，
故建立如图所求的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），G（0，a，2a），D（0，2a，0），
F（2a，0，2a），C（2a，a，0），
设平面GFCD的法向量为

m

=（x，y，z），
∵

GD

=(0，a，-2a)，

CD

=(-2a，a，0)，
∴

GD • m =ay-2az=0 CD • m =-2ax+ay=0

，
令y=2，得

m

=（1，2，1），
∵

AG

=（0，a，2a），
∴|cos＜

AG

，

m

＞|=

| AG • m |

| AG |•| m |

=

2a+2a

5a2 • 6

=

2 30

15

，
∴直线AG与平面GFCD所成角的正弦值为

2 30

15

．

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．