Question

5．数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+a_n=4-$\frac{1}{{{2^{n-2}}}}（{n∈{N^*}}）$，则a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 S_n+a_n=4-$\frac{1}{{{2^{n-2}}}}（{n∈{N^*}}）$，n≥2时，S_n-1+a_n-1=4-$\frac{1}{{2}^{n-3}}$，可得：2a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．变形为2^n-1a_n-2^n-2a_n-1=1．利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n+a_n=4-$\frac{1}{{{2^{n-2}}}}（{n∈{N^*}}）$，
∴n≥2时，S_n-1+a_n-1=4-$\frac{1}{{2}^{n-3}}$，
可得：2a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
∴2^n-1a_n-2^n-2a_n-1=1．
n=1时，2a₁=4-2，解得a₁=1．
∴数列{2^n-1a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
则2^n-1a_n=1+（n-1）=n．
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
故答案为：$\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查了数列递推公式、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．