Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，a_n•a_n+1=2S_n，设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{{a}_{n}}}$，若存在正整数p，q（p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等差数列，则p+q=5．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2S_n，n=1时，a₁a₂=2S₁=2a₁，解得a₂=2．n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1），a_n≠0，可得a_n+1-a_n-1=2．利用等差数列的通项公式可得a_n=n．b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．根据存在正整数p，q（p＜q），使得b₁，b_p，
b_q成等差数列，可得2b_p=b₁+b_q，$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}+\frac{q}{{3}^{q}}$（*）．根据数列{b_n}是单调递减数列，通过分类讨论即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2S_n，∴n=1时，a₁a₂=2S₁=2a₁，解得a₂=2．n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n（a_n+1-a_n-1），∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a_n=1+n-1=n．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∵存在正整数p，q（p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等差数列，
∴2b_p=b₁+b_q，∴$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}+\frac{q}{{3}^{q}}$（*）．
∵数列{b_n}是单调递减数列．
当p=1时，由$\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，解得q=1，舍去．
当2≤p＜q时，$\frac{1}{3}≥\frac{p-1}{{3}^{p-1}}$，$\frac{p-1}{{3}^{p-1}}$-$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{p-3}{{3}^{p}}$．
当3≤p时，$\frac{1}{3}≥\frac{p-1}{{3}^{p-1}}$≥$\frac{2p}{{3}^{p}}$，$\frac{q}{{3}^{q}}$＞0，∴$\frac{2p}{{3}^{p}}$$＜\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，（*）不成立．
∴p=2，可得：$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，解得q=3．
∴p+q=5．

点评 本题考查了数列递推公式、等差数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．