Question

18．已知f（x）是定义域为（-1，1），且满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（x）在（-1，1）上是减函数．
（1）若f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{1}{4}$，求f（$\frac{1}{2}$）；
（2）解不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0．

Answer 1

分析 （1）求出f（-$\frac{1}{2}$）的值，根据0=f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$），求出f（$\frac{1}{2}$）的值即可；（2）根据函数的单调性单调关于x的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）且f（-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
∴f（-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$）=f（-$\frac{1}{4}$）+f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，∵f（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$），
∴f（0）=f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$），
而f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
∴0=f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$），
∴f（$\frac{1}{2}$）=-f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；
（2）∵f（1-x）+f（1-x²）＜0，且f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（1-x+1-x²）＜f（0），
即f（-x²-x+2）＜f（0），
又f（x）是定义在R上的减函数，
∴-x²-x+2＞0，解得：-2＜x＜1，
故不等式的解集是（-2，1）．

点评 本题考查了函数求值以及解不等式问题，考查函数的单调性，是一道中档题．