Question

10．等腰△ABC的顶角A=$\frac{2π}{3}$，|BC|=2$\sqrt{3}$，以A为圆心，1为半径作圆，PQ为该圆的一条直径，则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$的最大值为$2\sqrt{3}-3$．

Answer 1

分析 利用平面向量的三角形法则，将$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{CQ}$分别AP，AC，AB对应的向量表示，进行数量积的运算，得到关于$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{CB}$夹角θ的余弦函数解析式，借助于有界性求最值即可．

解答 解：如图：由已知$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}=（{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}}）•（{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{AP}}）=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}•（{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}}）-{\overrightarrow{AP}^2}$
=$2×2×（-\frac{1}{2}）+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}-1$
=$-2+2\sqrt{3}cosθ-1≤2\sqrt{3}-3$；
故答案为：$2\sqrt{3}-3$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，借助于余弦函数的有界性求最值；属于中档题．