Question

6．已知方程ln|x|-ax²+$\frac{3}{2}$=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是$（{0，\frac{e^2}{2}}）$．

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由ln|x|-ax²+$\frac{3}{2}$=0，得ax²=ln|x|+$\frac{3}{2}$，
∵x≠0，
∴方程等价为a=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
设f（x）=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
则函数f（x）是偶函数，
当x＞0时，f（x）=$\frac{lnx+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
则f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{2}-（lnx+\frac{3}{2}）•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{-2x（1+lnx）}{{x}^{4}}$，
由f′（x）＞0得-2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜-1，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-2x（1+lnx）＜0，得1+lnx＞0，即lnx＞-1，得x＞$\frac{1}{e}$，此时函数单调递减，
即当x＞0时，x=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）取得极大值f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{ln\frac{1}{e}+\frac{3}{2}}{（\frac{1}{e}）^{2}}$
=（-1+$\frac{3}{2}$）e²=$\frac{1}{2}$e²，
作出函数f（x）的图象如图：
要使a=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
有4个不同的交点，
则满足0＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2}$，
故答案为：$（{0，\frac{e^2}{2}}）$．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，研究函数的单调性和极值，借助数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．