Question

18．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1，a₁=$\frac{1}{2}$，当n≥2时，${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+$$…+{2^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{2}$，${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+$$…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由${b_n}=\frac{n}{2^n}$，利用错位相减法，即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+$$…+{2^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{2}$，①
${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+$$…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$，②
①-②得：${a_n}=\frac{1}{2^n}$（n≥2），
则a₁也符合上式，
∴数列{a_n}的通项公式${a_n}=\frac{1}{2^n}$；
（2）由（1）可知：${b_n}=\frac{n}{2^n}$，数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+2×$\frac{1}{{2}^{3}}$+3×$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．
∴数列{b_n}的前n项和${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查“错位相减法”求数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．