Question

7．已知某产品出厂前需要依次通过三道严格的审核程序，三道审核程序通过的概率依次为$\frac{9}{10}$，$\frac{8}{9}$，$\frac{7}{8}$，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，该产品只有三道程序都通过才能出厂销售
（Ⅰ）求审核过程中只通过两道程序的概率；
（Ⅱ）现有3件该产品进入审核，记这3件产品可以出厂销售的件数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）根据相互独立事件的概率乘法公式计算；
（II）求出每一件产品通过审查的概率，利用二项分布的概率公式和性质得出分布列和数学期望．

解答 解：（I）审核过程中只通过两道程序的概率为P=$\frac{9}{10}×\frac{8}{9}×（1-\frac{7}{8}）$=$\frac{1}{10}$．
（II）一件产品通过审查的概率为$\frac{9}{10}×\frac{8}{9}×\frac{7}{8}$=$\frac{7}{10}$，
∴X～B（3，$\frac{7}{10}$），
故X的可能取值为0，1，2，3，
且P（X=0）=（1-$\frac{7}{10}$）³=$\frac{27}{1000}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{7}{10}$•（1-$\frac{7}{10}$）²=$\frac{189}{1000}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•$（$\frac{7}{10}$）²•（1-$\frac{7}{10}$）=$\frac{441}{1000}$
P（X=3）=（$\frac{7}{10}$）³=$\frac{343}{1000}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{343}{1000}$

E（X）=3×$\frac{7}{10}$=$\frac{21}{10}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算，二项分布及数学期望，属于中档题．