题目内容
6．
如图，已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1 （a＞b＞0）经过不同的三点A（$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），C（C在第三象限），线段BC的中点在直线OA上．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程及点C的坐标；
（Ⅱ）设点P是椭圆Γ上的动点（异于点A、B、C）且直线PB、
PC分别交直线OA于M、N两点，问|OM|•|ON|是否为定值？
若是，求出定值；若不是，请说明理由．
分析 （Ⅰ）将A，B代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程，利用中点坐标公式求得D点坐标，求得直线OA的方程，代入椭圆方程，即可求得m和n的值，即可求得C点坐标；
（Ⅱ）根据直线的斜率公式．求得y1及y2，由x02=$\frac{5}{2}$-4y02，代入即可求得y1y2，由|OM|•|ON|=$\sqrt{5}$丨y1丨•$\sqrt{5}$丨y2丨，即可求得|OM|•|ON|为定值 $\frac{25}{16}$．
解答 解：（Ⅰ）由点A，B在椭圆Γ上，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4{a}^{2}}+\frac{5}{16{b}^{2}}=1}\\{\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{9}{16{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\frac{5}{2}}\\{{b}^{2}=\frac{5}{8}}\end{array}\right.$，
∴椭圆Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{8}}=1$ …（4分）
设C（m，n），则BC的中点D（$\frac{2m-1}{4}$，$\frac{4n-3}{8}$），∵D在直线OA上
由已知，求得直线OA的方程为x-2y=0，从而m=2n-1，①
又点C在椭圆Γ上，故2m2+8n2=5，②
由①②解得n=$\frac{3}{4}$（舍去）或n=-$\frac{1}{4}$，则m=-$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$）； …（6分）
（Ⅱ）设P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2），
∵P，B，M三点共线，∴$\frac{{y}_{1}+\frac{3}{4}}{2{y}_{1}+\frac{1}{2}}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{3}{4}}{{x}_{0}+\frac{1}{2}}$，y1=$\frac{3{x}_{0}-2{y}_{0}}{4（2{y}_{0}-{x}_{0}+1）}$，
∵P，C，M三点共线，∴$\frac{{y}_{2}+\frac{1}{4}}{2{y}_{2}+\frac{3}{2}}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{4}}{{x}_{0}+\frac{3}{2}}$，y2=$\frac{{x}_{0}-6{y}_{0}}{4（2{y}_{0}-{x}_{0}-1）}$，…（8分）
∵点P在椭圆Γ上，
∴2x02+8y02=5，x02=$\frac{5}{2}$-4y02，
∴y1y2=$\frac{（3{x}_{0}-2{y}_{0}）（{x}_{0}-6{y}_{0}）}{16[（2{y}_{0}-{x}_{0}）^{2}-1]}$=$\frac{3{x}_{0}^{2}-20{x}_{0}{y}_{0}+12{y}_{0}^{2}}{16（4{y}_{0}^{2}+{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-1）}$
=$\frac{3（\frac{5}{2}-4{y}_{0}^{2}）-20{x}_{0}{y}_{0}+12{y}_{0}^{2}}{16（\frac{5}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-1）}$=$\frac{5（\frac{3}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}）}{16（\frac{3}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}）}$=$\frac{5}{16}$，…（10分）
∴|OM|•|ON|=$\sqrt{5}$丨y1丨•$\sqrt{5}$丨y2丨=5丨y1y2丨=$\frac{25}{16}$为定值．
∴|OM|•|ON|为定值 $\frac{25}{16}$．…（12分）
点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，中点坐标公式的应用，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．
阅读快车系列答案
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=$\sqrt{2}$，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．| A． | （-∞，$\sqrt{2}$] | B． | （-∞，$\frac{3}{2}$） | C． | （-∞，$\frac{9}{4}$] | D． | [$\sqrt{2}$，+∞） |
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
．