题目内容
【题目】已知函数
，
，现有如下两种图象变换方案：
（方案1）：将函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
个单位长度；
（方案2）：将函数的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数
的解析式，并解决如下问题：
（1）用“五点作图法”画出函数在
的闭区间上的图象（列表并画图）；
（2）请你在答题纸相应位置逐一写出函数的①周期性②奇偶性③单调递增区间④单调递减区间.
【答案】无论在何种方案下所得的函数都是
.（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】
在（方案1）和（方案2）中，利用三角函数图象变换规律可得出函数
的解析式为.
（1）当
时，求得
，分别令
等于
、
、
、
、
、
，求得对应的
值，列表、描点、连线，进而可得出函数在区间
上的图象；
（2）根据函数的解析式可得出函数的最小正周期、奇偶性，分别解不等式
、
，可分别得出函数的单调递增区间和递减区间.
（方案1）：将函数
的图象上所有点的横标变为原来的一半，纵坐标不变，
得到函数
的图象，再将函数图象向左平移
个单位长度得到
的图象；
（方案2）：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数
的图象，
再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到
的图象，即.
所以，无论在何种方案下所得的函数都是.
（1）当时，
，列表如下：
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所以，函数在区间上图象如下图所示：
（2）函数，
最小正周期：
；奇偶性：非奇非偶函数；
增区间：令，解得
，
所以，函数的单调递增区间为
；
减区间：令，解得
，
所以，函数的单调递减区间为
.
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