题目内容
【题目】已知数列满足
,
,
是数列
的前
项的和.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,
,
成等差数列,
,18,
成等比数列,求正整数
的值;
(3)是否存在,使得
为数列
中的项?若存在,求出所有满足条件的
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1).(2)
,
.(3)
或14.
【解析】试题分析:(1)当时,
,
,当
时,由
列
是首项为2,公差为1的等差数列
.
(2)建立方程组,或
.当
,当
无正整数解,综上
,
.
(3)假设存在正整数,使得
,
,
或
,
,
,
(舍去)
或14.
试题解析:
(1)因为,
,
所以当时,
,
,
当时,
由
和
,
两式相除可得,,即
所以,数列是首项为2,公差为1的等差数列.
于是,.
(2)因为,30,
成等差数列,
,18,
成等比数列,
所以,于是
,或
.
当时,
,解得
,
当时,
,无正整数解,
所以,
.
(3)假设存在满足条件的正整数,使得
,
则,
平方并化简得,,
则,
所以,或
,或
,
解得:,
或
,
,或
,
(舍去),
综上所述,或14.
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