题目内容
【题目】(12分)
如图,在四棱锥
.
(1)当PB=2时,证明:平面平面ABCD.
(2)当四棱锥
的体积为
,且二面角
为钝角时,求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析.
(2).
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连接
,
,则
,由
,推出
∥
,根据
,推出
,即可证明
为矩形,则
,即可证明
,从而可证平面
平面
;(2)由
,
,推出
平面
,可得平面
平面
,过点
作
平面
,根据四棱锥
的体积为
,即可算出
,从而可得
的值,以
为坐标原点,
,
所在的直线为
,
轴,在平面
内过点
作垂直于平面
的直线为
轴,建立空间直角坐标系,分别求出向量
与平面
的一个法向量,即可求出求直线
与平面
所成角的正弦值.
试题解析:(1)证明:如图,取的中点
,连接
.
∵为正三角形
∴.
∵
∴
∵
∴,
∴四边形为矩形
∴.
在中,
,所以
,则
.
∵
∴平面
又∵平面
∴平面平面
.
(2)解:如图,取的中点
,连接
,
,
平面
,所以
平面
,因为
平面
,所以平面
平面
,所以过点
作
平面
,垂足
一定落在平面
与平面
的交线
上.
∵四棱锥的体积为
,
∴
,
∴.
∵
∴
以为坐标原点,
所在直线为
轴、
轴,在平面
内过点
作垂直于平面
的直线为
轴,建立空间直角坐标系
.由题意可知
,故
,设平面
的法向量为
,则
,即
,令
,则
,所以
.
设直线与平面
所成的角为
,则
.
故直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目