题目内容
【题目】如图,几何体中,四边形
为菱形,
,
,面
∥面
,
、
、
都垂直于面
,且
,
为
的中点,
为
的中点.
(1)求证:为等腰直角三角形;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】
试题分析:(1)由已知条件,在直角三角形,DCE中分别求出
,DE的长度,由边的关系能够证出△DB1E为等腰直角三角形;(2)取
的中点H,因为O,H分别为DB,
的中点,所以OH∥BB1,以OA,OB,OH分别为x,y,z轴建立坐标系,求出两个平面
和DFE的法向量,根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角
的余弦值.
试题解析:解:(1)连接,交
于
,因为四边形
为菱形,
,所以
因为、
都垂直于面
,
,又面
∥面
,
所以四边形为平行四边形 ,则
2分
因为、
、
都垂直于面
,则
4分
所以
所以为等腰直角三角形 5分
(2)取的中点
,因为
分别为
的中点,所以
∥
以分别为
轴建立坐标系,
则
所以 7分
设面的法向量为
,
则,即
且
令,则
9分
设面的法向量为
,
则即
且
令,则
11分
则,则二面角
的余弦值为
12分
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