Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点（

2

，0），（-

2

，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交与A，B两点．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）线段AB的长是3，求实数k；
（3）若点A在第四象限，判断|

OA

|与|

OB

|的大小，并证明．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知点P的轨迹C是以（

2

，0），（-

2

，0）为焦点，长半轴为2的椭圆，由隐含条件求得b则曲线C的方程可求；
（2）联立

y=kx+1 x2 4 + y2 2 =1

，化为关于x的一元二次方程后由弦长公式求得k的值；
（3）由点A在第四象限，及直线过定点求得k的范围，然后把|

OA

|2-|

OB

|2转化为含有k的代数式判断符号得答案．

解答： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以（

2

，0），（-

2

，0）为焦点，长半轴为2的椭圆，
∴b=

a2-c2

=

22-( 2 )2

=

2

，
故曲线C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）联立

y=kx+1 x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
△=16k²-4（1+2k²）（-2）=32k²+8＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4k

1+2k2

，x₁x₂=-

2

1+2k2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(- 4k 1+2k2 )2+ 8 1+2k2

=3，
解得：k=±

2

2

；
（3）若点A在第四象限，
∵直线y=kx+1过定点（0，1），且椭圆左顶点为（-2，0），
∴k＞

1

2

，
则|

OA

|2-|

OB

|2=x12+y12-x22-y22
=x12-x22+2(1-

x12

4

-1+

x22

4

)
=

1

2

(x12-x22)=

1

2

(x1-x2)(x1+x2)
=

1

2

(x1-x2)(-

4k

1+2k2

)，
∵k＞

1

2

，x₁-x₂＜0
∴

1

2

(x1-x2)(-

4k

1+2k2

)＞0，
即|

OA

|＞|

OB

|．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了弦长公式的应用，考查了向量的模，是中档题．