Question

已知函数f（x）=

x+2

+k，k为已知的实数，
（1）求函数f（x）的值域；并判断其在定义域上的单调性（不必证明）；
（2）当k=-2时，设f（x）≤0的解集为A，函数g（x）=lg（sin²

π

6

x-3sin

π

6

x•cos

π

6

x+acos²

π

6

x）的定义域为B，若（A∪B）⊆B，求实数a的取值范围．
（3）若存在实数a，b≥-2且a＜b，使f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）由

x+2

≥0即得到f（x）≥k，从而得出f（x）的值域，通过求导判断f′（x）的符号即可判断出f（x）的单调性；
（2）k=-2时，容易解出f（x）≤0为，A=[-2，2]．对于函数g（x），容易得到-2≤x≤2时，tan2

π

6

x-3tan

π

6

x+a＞0恒成立，若令tan

π

6

x=t，（-

3

≤t≤

3

），则得到t²-3t+a＞0在[-

3

，

3

]上恒成立，从而可得到a＞

9

4

；
（3）由已知条件知方程

x+2

+k=2x在定义域上有两个不等实根，设

x+2

=t≥0，则得到2t²-t-4-k=0在[0，+∞）上有两个不等实数根，所以便得到

△=1+8(4+k)＞0 -4-k 2 ≥0

，解不等式组即得k的取值范围．

解答： 解：（1）∵

x+2

≥0，

x+2

+k≥k；
∴f（x）的值域为[k，+∞）；
f′（x）=

1

2 x+2

＞0，所以f（x）在定义域上单调递增；
（2）k=-2时，f（x）=

x+2

-2；
所以由f（x）≤0得

x+2≥0 x+2≤4

；
解得-2≤x≤2，∴A=[-2，2]；
由（A∪B）⊆B得，A⊆B；
即-2≤x≤2时，sin2

π

6

x-3sin

π

6

x•cos

π

6

x+acos2

π

6

x＞0恒成立；
当cos

π

6

x=0，即x=6k+3，k∈Z时，g（x）=lg1=0，（A∪B）⊆B不成立；
当cos

π

6

x≠0时，由sin2

π

6

x-3sin

π

6

x•cos

π

6

x+acos2

π

6

x＞0得：
tan2

π

6

x-3tan

π

6

x+a＞0；
由-2≤x≤2得，-

π

3

≤

π

6

x≤

π

3

，-

3

≤tan

π

6

x≤

3

；
令t=tan

π

6

x，则t²-3t+a＞0即a＞-t²+3t在[-

3

，

3

]上恒成立；
t=

3

2

时，-t²+3t取最大值

9

4

；
∴a＞

9

4

；
∴实数a的取值范围为（

9

4

，+∞）；
（3）∵f（x）在定义域上递增；
∴

f(a)= a+2 +k=2a f(b)= b+2 +k=2b

；
∴方程

x+2

+k=2x有两个不等根；
令

x+2

=t≥0，则t+k=2（t²-2）；
即2t²-t-4-k=0在[0，+∞）上有两个不等根；
∴

△=1+8(4+k)＞0 -4-k 2 ≥0

，解得-

33

8

＜k≤-4；
∴实数k的取值范围为（-

33

8

，-4]．

点评：考查函数值域的概念及求法，根据导数符号判断函数单调性的方法，并集，子集的概念，正切函数的图象与单调性，二次函数的最值，以及函数单调性和该函数在闭区间上值域的关系，韦达定理及一元二次方程有两个不等实根时判别式△的取值情况．