Question

10．（1）已知y=f（x）是定义在R的奇函数，且在R上为增函数．求不等式f（4x-5）＞0的解集；
（2）已知偶函数f（x）（x∈R），当x≥0时．f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
（2）根据偶函数的性质进行转化求解即可．

解答 解：（1）已知y=f（x）是定义在R的奇函数，且在R上为增函数．
则不等式f（4x-5）＞0等价为f（4x-5）＞f（0），
即4x-5＞0，得x＞$\frac{5}{4}$；
即不等式的解集为（$\frac{5}{4}$，+∞）．
（2）若x＜0，则-x＞0，
则∵当x≥0时．f（x）=x（5-x）+1，
∴f（-x）=-x（5+x）+1，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=-x（5+x）+1=f（x），
即f（x）=x（5+x）-1，
即f（x）在R上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（5-x）+1，}&{x≥0}\\{0，}&{x=0}\\{x（5+x）-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数解析式的求解，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．