Question

7．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$经过点$E（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）直线l与圆O：x²+y²=b²相切于点M，且与椭圆Γ相交于不同的两点A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）将E代入椭圆方程，根据椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，根据基本不等式的性质即可求得丨AB丨的最大值．

解答 解：（1）将$E（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$代入椭圆方程，$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得：a=2，b=1，
∴椭圆Γ的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）当直线l垂直于x轴时，由直线l与圆O：x²+y²=1相切，
可知直线l的方程为x=±1，易求$|{AB}|=\sqrt{3}$．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，
由直线l与圆O：x²+y²=1相切，得$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，即m²=k²+1，
将y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，整理得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}}）}^2}-\frac{{16{m^2}-16}}{{1+4{k^2}}}}=4\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{1+4{k^2}-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$，
又因为m²=k²+1，
所以$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{3}|k|\sqrt{{k^2}+1}}}{{1+4{k^2}}}≤\frac{{2（{3{k^2}+{k^2}+1}）}}{{1+4{k^2}}}=2$，
当且仅当$\sqrt{3}|k|=\sqrt{{k^2}+1}$，即$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时等号成立，
综上所述，|AB|的最大值为2．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查分类讨论思想，属于中档题．