Question

6．已知函数f（x）=|x+2|-|2x-a|，（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，f（x）＜3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，不等式即|x+2|-|2x-3|＞0，把它等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意，当x∈[0，+∞）时，|a-2x|＞x-1 恒成立，分类讨论x的范围，分别求得a的范围，综合可得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，不等式f（x）＞0，即|x+2|-|2x-3|＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-x-2-（3-2x）＞0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x≤\frac{3}{2}}\\{x+2-（3-2x）＞0}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{x+2-（2x-3）＞0}\end{array}\right.$③，
解①求得x∈∅，解②求得$\frac{1}{3}$＜x≤$\frac{3}{2}$，解③求得$\frac{3}{2}$＜x＜5．
综上可得，不等式f（x）＞0的解集为{x|$\frac{1}{3}$＜x＜5}．
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，f（x）＜3恒成立，即|x+2|-|2x-a|＜3恒成立，即x+2-|2x-a|＜3恒成立，
即|a-2x|＞x-1 恒成立，
当x∈[0，1）时，x-1＜0，显然满足条件，此时，a为任意值．
当x=1时，x-1=0，此时，a≠2．
当x＞1时，可得a-2x＞x-1，或 a-2x＜1-x．
即a＞3x-1，或a＜x+1，求得a≤2．
综上可得，a＜2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．