Question

【题目】如图1，在中， ， ， ， 为边的中点，现把沿折叠，使其与构成如图2所示的三棱锥，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，得AO⊥CP，在△OCB中，有AO⊥OB，即AO⊥平面PCB，

可证平面ACP⊥平面CPB．

（2）因为AO⊥平面CPB，且OC⊥OE，故可如图建立空间直角坐标系，则， ，求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解．

试题解析：

（1）如图1，取得中点，连接并延长交于点，

在中，因为， ， ， 为边的中点，

所以是正三角形，所以，且, , .

由折叠过程可知，在图2中， ， ，如图2，连接，

在中，由余弦定理得，

所以，所以.又因为， ，

所以，又因为，所以平面平面.

（2）因为平面，且，所以可建立如图二所示的空间直角坐标系.则， ， ， ， ， ， .

设平面的一个法向量为，则

由得.

同理可求得平面的一个法向量为.

设所求角为，则所求角的余弦值.