题目内容
【题目】某经济开发区规划要修建一地下停车场,停车场横截面是如图所示半椭圆形AMB,其中AP为2百米,BP为4百米,,M为半椭圆上异于A,B的一动点,且
面积最大值为
平方百米,如图建系.
求出半椭圆弧的方程;
若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置P处,N为运土点,以A,B为出口,要使运土最省工,工程部需要指定一条分界线,请求出分界线所在的曲线方程;
若在半椭圆形停车场的上方修建矩形商场,矩形的一边CD与AB平行,设
百米,试确定t的值,使商场地面的面积最大.
【答案】
【解析】
(1)在直角三角形PAB中,由已知结合勾股定理得AB.设椭圆方程为(a>b>0).由已知列式求得a,b,则椭圆方程可求;
(2)由于N到P的路程相等,可得NA+AP=NB+BP,即NA﹣NB=2<AB,得N在以A,B为焦点的双曲线上,设双曲线方程为(m>0,n>0),则
,解得m,n的值,则双曲线方程可求;
(3)由CD=2t,设D(t,s)(s>0),则.求得s,则商场地面积为y=2ts=2t
.然后利用基本不等式求最值.
在直角三角形PAB中,
,
,
由勾股定理得:.
设椭圆方程为.
由题意得,解得
,
.
椭圆弧的方程为
;
由点N到P的路程相等,
,即
.
得,
在以A,B为焦点的双曲线上,
设双曲线方程为,
则,解得
,
.
双曲线方程为
;
由
,设
,则
.
,
商场地面积为y=2ts=2t
.
,
,
则.
当且仅当,即
时“
”成立.
当
时,商场地面的面积最大为
平方百米.
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