Question

数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a_n+S_n=-2n-1（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+2}是等比数列；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+na_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的定义，即可证明数列{a_n+2}是等比数列；
（2）利用累加法，即可求出数列的通项公式．

解答： 证明：（1）∵a_n+S_n=-2n-1，
∴a_n+1+S_n+1=-2n-3，
以上两式相减得，a_n1-a_n+S_n+1-S_n=-2，
∴a_n+1=a_n-2．
∴2（a_n+1+2）=a_n+2，且当n=1时，a₁+S₁=-3，即a₁=-

3

2

，
∵a₁+2=

1

2

≠0，∴a_n+2≠0，∴

an+1+2

an+2

=

1

2

．
∴{a_n+2}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）由（1）的结论易知a_n+2=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ，
∴a_n═（

1

2

）ⁿ-2．
∵b_n+1=b_n+na_n，∴b_n+1-b_n=na_n=n（

1

2

）ⁿ-2n，
∴bn=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+[1×

1

2

-2]+[2×(

1

2

)2-2×2]+…+[（n-1）•(

1

2

)n-1-2(n-1)]
=1+[1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1]-2[1+2+…+（n-1）]
=1+[1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1]-n（n-1）．
令T=1+[1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1]，

1

2

T=

1

2

+（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+…+（n-2）×+（

1

2

）^n-1+（n-1）×+（

1

2

）ⁿ，
∴T-

1

2

T=

1

2

T=1+（

1

2

）²++（

1

2

）³+…++（

1

2

）^n-1-（n-1）×（

1

2

）ⁿ，
∴

1

2

T=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n-1）×（

1

2

）ⁿ，
=

3

2

-（n+1）×（

1

2

）ⁿ，
即T=3-（n+1）×（

1

2

）^n-1．
∴b_n=T-n（n-1）=3-（n+1）×（

1

2

）^n-1-n（n-1），
即b_n=3-（n+1）×（

1

2

）^n-1-n（n-1）．

点评：本题主要考查等比数列的定义，以及利错位相减法求数列的通项公式，运算量较大，综合性较强．