Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=

an

3n

，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上，得a_n+1=a_n+2，由此能证明{a_n}是等差数列，并能求出a_n=2n-1．
（2）由（1）知b_n=

an

3n

=

2n-1

3n

，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的通项公式及其前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上，
∴a_n+1=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2，∵a₁=1，
∴{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1．
（2）解：由（1）知b_n=

an

3n

=

2n-1

3n

，
∴S_n=

1

3

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，①

1

3

S_n=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，②
①-②得

2

3

S_n=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Sn=1-

n+1

3n

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．