如图.已知抛物线y=x2+4x+3的顶点为A.抛物线与x轴相交于点B和点C.与y轴相交于点D.点P为对称轴直线l上的一个动点.以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点A向上运动.设点P运动的时间为t秒．(1)求点C的坐标,(2)①当t为2秒时.△PCD的周长最小,②当t为4±$\sqrt{6}$或4秒时.△PCD是以CD为腰的等腰三角形,(3)探究点P在运动过程中.是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，已知抛物线y=x²+4x+3的顶点为A，抛物线与x轴相交于点B和点C（点B在点C的左侧），与y轴相交于点D，点P为对称轴直线l上的一个动点，以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点A向上运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）①当t为2秒时，△PCD的周长最小；
②当t为4±$\sqrt{6}$或4秒时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形；（结果保留根号）
（3）探究点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PCD是以CD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由y=0，解得x=-3或-1，即可得到C的坐标；
（2）①由于CD为定值，只需PC+PD的和最小，由C为B关于直线x=-2对称，连接BD，即可得到最小值的点P；②由题意可得PD=CD或PC=CD，运用两点的距离公式计算即可得到所求；
（3）（3）假设存在一点P，使△PCD是以CD为斜边的直角三角形．设P（-2，n），即有PC⊥PD，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，计算即可得到所求值．

解答解：（1）抛物线y=x²+4x+3，令y=0，可得x=-3或-1，
即有C（-1，0）；
（2）①由y=0可得B（-3，0），C（-1，0），
由x=0，可得y=3，即D（0，3），
由于CD为定值，只需PC+PD的和最小，
由C为B关于直线x=-2对称，连接BD，
即有PC+PD的最小值为BD，
由BD的方程为y=x+3，令x=-2，解得y=1，
即有P（-2，1），
由A（-2，-1），可得t=2秒时周长最小；
②由题意可得PD=CD或PC=CD，
设P（-2，m），即有$\sqrt{4+（m-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$或$\sqrt{1+{m}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得m=3±$\sqrt{6}$或m=3（-3舍去），
即有t=4±$\sqrt{6}$或4；
（3）假设存在一点P，使△PCD是以CD为斜边的直角三角形．
设P（-2，n），即有PC⊥PD，
可得k_PC•k_PD=-1，即为$\frac{n}{-1}$•$\frac{n-3}{-2}$=-1，
解得n=1或2，
故存在一点P（-2，1）或（-2，2），
使△PCD是以CD为斜边的直角三角形．
故答案为：2，4±$\sqrt{6}$或4．