已知向量$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=．(1)若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$.求$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值,(2)若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{6}$.θ∈.求sin的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（-1，2）．
（1）若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，求$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{6}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求sin（$θ+\frac{π}{4}$）的值．

分析（1）由向量垂直得数量积为0，得出sinθ与cosθ的关系，代入所求式子即可化简；
（2）对|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{6}$两边平方得出数量积的值，从而求出sinθ，cosθ，使用和角公式计算．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2sinθ-cosθ=0，∴cosθ=2sinθ．
∴$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{sinθ-2sinθ}{sinθ+2sinθ}$=-$\frac{1}{3}$．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{6}$，∴$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=6，即1-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+5=6，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．
由（1）知cosθ=2sinθ．∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数化简求值，属于基础题．

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