Question

10．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、C₁D₁的中点，则A₁B₁与平面A₁EF夹角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁B₁与平面A₁EF夹角的正弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），E（2，1，0），F（0，1，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（-2，1，0），
设平面A₁EF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}F}=-2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
设A₁B₁与平面A₁EF夹角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴A₁B₁与平面A₁EF夹角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．