Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时  f（x）=2x-x²，则f（-1）=-1；若函数g（x）=f（x）+k-1有三个零点，则k的取值范围（0，2）．

Answer 1

分析 设x＜0，则-x＞0，由已知表达式可求f（-x），根据奇函数性质可求f（x）；g（x）=f（x）+k-1有三个零点即f（x）=1-k有三个根，可得函数y=f（x）与y=1-k的图象有三个交点，作出函数的图象可求k的取值范围．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-2x-（-x）²=-2x-x²，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=2x+x²，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
f（-1）=1-2=-1．
作出f（x）的图象：g（x）=f（x）+k-1有三个零点即f（x）=1-k有三个根，
∴函数y=f（x）与y=1-k的图象有三个交点，
根据图象可知-1＜1-k＜1，解得0＜k＜2，
∴k的取值范围是（0，2）．
故答案为：-1；（0，2）．

点评 本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，考查数形结合思想、函数方程思想．