Question

【题目】已知椭圆C:,过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M。
（1）（I）求椭圆C的离心率；
（2）（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率。
（3）（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

k=1

（3）

直线BM与直线DE平行

【解析】
（I）椭圆C的标准方程为.所以a=,b=1,c=.所以椭圆C的离心率.
(II)因为AB的方程为y-1=(1-)(x-2).令x=3,得M（3,2-）.所以直线BM的斜率.
（III）直线BM与直线DE平行，证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（II）可知.
有因为直线DE的斜率,所以BM//DE .
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1)(k1).
设A（,）,B（,）,则直线AE的方程为.令x=3，得点M（3，）.
由,得.
所以,.
直线BM的斜率.
因为，
所以
所以BM//DE.
综上可知，直线BM与直线DE平行。
【考点精析】本题主要考查了直线的斜率和椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．