Question

【题目】如图，四边形 为菱形，四边形 为平行四边形，设 与 相交于点 ， ．

（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成角为60°，求二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接 ，

∵四边形 为菱形，

∵ ，

在 和 中，

， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面 ，

∵ 平面 ，

∴平面 平面 ；

（2）

解法一：过 作 垂线，垂足为 ，连接 ，

易得 为 与面 所成的角，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面 ，

∴ 为二面角 的平面角，

可求得 ，

在 中由余弦定理可得： ，

∴二面角 的余弦值为 ；

解法二：如图，在平面 内，过 作 的垂线，交 于 点，

由（1）可知，平面 平面 ，

∴ 平面 ，

∴直线 两两互相垂直，

分别 为 轴建立空间直角坐标系 ，

易得 为 与平面 所成的角，∴ ，

则 ，

，

设平面 的一个法向量为 ，则

且 ，

∴ ，且

取 ，可得平面 的一个法向量为 ，

同理可求得平面 的一个法向量为 ，

∴ ，

∴二面角 的余弦值为 ．

【解析】（1）做辅助线，连接EG，通过证明△EAD和△EAB全等，得到ED=EB，即EG⊥BD。四边形ABCD为菱形，则有AC⊥BD，故BD⊥平面ACFE，进而可以证明两个平面垂直。（2）分别 为 轴建立空间直角坐标系 ，设出平面 的一个法向量为 ，利用法向量求出二面角B-EF-D的余弦值。