Question

【题目】一直函数,其中
（1）讨论的单调性
（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有
（3）若关于的方程（为实数）有两个正实根,求证：

Answer 1

【答案】
（1）

当为奇数时，在上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减1

（2）

见解答

（3）

见解答

【解析】（1）由,可得，其中且，下面分两种情况讨论：当为奇数时：令,解得或，当变化时，的变化情况如下表：

x	(-,-1)	(-1,1)	(1,+)
F’(x)	—	+	—
F(x)

所以，在上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减，所以，在上单调递增，在上单调递减
（2）证明：设点的坐标为,则，曲线在点处的切线方程为,即,令，即,则由于在上单调递增，故在上单调递减，又因为,所以，当时，,当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有,即对任意的正实数，都有
（3）证明：不妨设,由（2）知,设方程的根为，可得，当时，在上单调递减，又由（2）知，可得。类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得,当，,即对任意。设方程的根为,可得，因为在上单调递增，且因此.由此可得,因为，所以,故,所以
【考点精析】认真审题，首先需要了解导数的几何意义(通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即)，还要掌握基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)的相关知识才是答题的关键．