Question

【题目】(2015·湖北）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；
（Ⅱ）设，，证明：当时，.

Answer 1

【答案】见解答
【解析】 （Ⅰ）由 ， 的奇偶性及，①得：②联立①②解得
，.证明：当时，，，故 ③
又由基本不等式，有，即 ④
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
⑥
当时，等价于 ⑦ 等价于 ⑧于是设函数 ，由⑤⑥，有 .当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得 .

【考点精析】关于本题考查的函数单调性的性质和正弦函数的奇偶性，需要了解函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；正弦函数为奇函数才能得出正确答案．