Question

12．已知函数f（x）=2cos²x+cos（$\frac{π}{2}$-2x），则函数f（x）的最小正周期是π，值域是[1-$\sqrt{2}$，1$+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，利用三角函数周期公式可求最小正周期，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，从而可求f（x）的值域．

解答 解：∵f（x）=2cos²x+cos（$\frac{π}{2}$-2x）
=1+cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1∈[1-$\sqrt{2}$，1$+\sqrt{2}$]．
故答案为：π，[1-$\sqrt{2}$，1$+\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．