Question

3．已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，S₄=28，数列{b_n}满足：b₁=1，$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{2{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{n{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-1（n∈N^•）
（1）求a_n和b_n；
（2）记数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求a_n；求得b₂，再将n换为n-1，两式相减可得nb_n=（n+1）b_n+1，推得nb_n=2b₂=1，即可得到b_n；
（2）求得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}是公差为d的等差数列，
由a₂=6，S₄=28，可得a₁+d=6，2a₁+3d=14，
解得a₁=4，d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=4+2（n-1）=2n+2；
由b₁=1，$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{2{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{n{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-1①
可得n=1时，$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{{b}_{2}}$-1，
解得b₂=$\frac{1}{2}$，
当n＞1时，$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{2{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{（n-1）{b}_{n-1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$-1②
①-②可得$\frac{1}{n{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$，
化为nb_n=（n+1）b_n+1，
即有nb_n=（n-1）b_n-1=（n-2）b_n-2=…=2b₂=1，
可得b_n=$\frac{1}{n}$，对n=1也成立．
则a_n=2n+2，b_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*）；
（2）$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{2（n+1）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查下标变换相减法，考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．