题目内容
3．已知x，y∈R．（Ⅰ）若x，y满足$|{x-3y}|＜\frac{1}{2}$，$|{x+2y}|＜\frac{1}{6}$，求证：$|x|＜\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3．
分析 （Ⅰ）|x|=$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）+3（x+2y）|]≤$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）|+|3（x+2y）|]＜$\frac{1}{5}$（2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$）=$\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）x4+16y4-（2x3y+8xy3）=x4-2x3y+16y4-8xy3=x3（x-2y）+8y3（2y-x）=（x-2y）2[（x+y）2+3y2]≥0即可．
解答 证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得：
|x|=$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）+3（x+2y）|]≤$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）|+|3（x+2y）|]＜$\frac{1}{5}$（2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$）=$\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）因为x4+16y4-（2x3y+8xy3）=x4-2x3y+16y4-8xy3=x3（x-2y）+8y3（2y-x）
=（x-2y）（x3-8y3）=（x-2y）（x-2y）（x2+2xy+4y2）
=（x-2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，
∴x4+16y4≥2x3y+8xy3
点评 本题考查了绝对值不等式的性质，作差法证明不等式，属于中档题．
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| A． | 对任意的正数M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M | |
| B． | 存在正数M，对任意的x∈（0，1），使f（x）≤M | |
| C． | 对任意的x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，有f（x1）＜f（x2） | |
| D． | 对任意的x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，有f（x1）＞f（x2） |
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| A． | （0，2] | B． | [2，4） | C． | [2，+∞） | D． | [2，3] |