Question

已知关于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m对于任意的x∈[-1，2]恒成立
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数f（m）=m+

1

(m-2)2

的最小值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得m大于式子

2-x

+

x+1

的最大值，再利用柯西不等式求得式子

2-x

+

x+1

的最大值，可得m的范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m-2＞0，则f(m)=m+

1

(m-2)2

=

1

2

(m-2)+

1

2

(m-2)+

1

(m-2)2

+2，再利用基本不等式，求得它的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵关于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m对于任意的x∈[-1，2]恒成立，可得m大于式子

2-x

+

x+1

的最大值．
根据柯西不等式，有(

2-x

+

x+1

)2=(1•

2-x

+1•

x+1

)2≤[12+12]•[(

2-x

)2+(

x+1

)2]=6，
所以

2-x

+

x+1

≤

6

，当且仅当x=

1

2

时等号成立，故m＞

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m-2＞0，则f(m)=m+

1

(m-2)2

=

1

2

(m-2)+

1

2

(m-2)+

1

(m-2)2

+2，
∴f(m)≥3

3	1 2 (m-2)• 1 2 (m-2)• 1 (m-2)2

+2=

3

2

3	2

+2，
当且仅当

1

2

(m-2)=

1

(m-2)2

，即m=

3	2

+2＞

6

时取等号，
所以函数f(m)=m+

1

(m-2)2

的最小值为

3

2

3	2

+2．

点评：本题主要考查柯西不等式、基本不等式的应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．