Question

当实数a，b变化时，直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0与直线m²x+2y-n²=0都过一个定点，记点（m，n）的轨迹为曲线C，P为曲线C上任意一点．若点Q（2，0），则PQ的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0过定点（-2，3），直线m²x+2y-n²=0也过定点（-2，3），将点坐标代入m²x+2y-n²=0，可得-2m²+6-n²=0，即点（m，n）在椭圆

m2

3

+

n2

6

=1上，即可求出PQ的最大值．

解答： 解：因为（2a+b）x+（a+b）y+a-b=（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0对于任意的a，b都成立，所以2x+y+1=0且x+y-1=0，二者联立，解得x=-2，y=3，即直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0过定点（-2，3）．
因此直线m²x+2y-n²=0也过定点（-2，3），将点坐标代入m²x+2y-n²=0，可得-2m²+6-n²=0，即点（m，n）在椭圆

m2

3

+

n2

6

=1上．
∵P为曲线C上任意一点，点Q（2，0），
∴PQ的最大值为2+

3

．
故答案为：2+

3

．

点评：本题考查直线与椭圆方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．