Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=

3

，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，E，G，H分别是BC，PC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：PH∥平面GED；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）求三棱锥P-GED的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接HC，交ED于点N，连结GN，（Ⅱ）连接AE，EH，由DE⊥平面PAE证明平面PAE⊥平面PDE；（Ⅲ）利用体积转化：V_P-GED=V_E-PGD=V_E-CDG=

1

2

V_P-CED．

解答： 解：（Ⅰ）连接HC，交ED于点N，连结GN，由条件得DHEC是平行四边形，
所以N是线段HC的中点，又G是PC的中点，所以GN∥PH．
又∵GN?平面GED，PH?平面GED内，
所以PH∥平面GED．
（Ⅱ）连接AE，EH，
∵在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，点E，H分别为BC，AD的中点，AB=1，AD=2，
∴四边形ECDH为菱形，AE∥CH，
∴DE⊥CH，
∴AE⊥DE．
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴PA⊥DE，
∵PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE，
∵DE?平面PDE，
∴平面PAE⊥平面PDE．
（Ⅲ）V_P-GED=V_E-PGD=V_E-CDG=

1

2

V_P-CED，
S△CED=

3

4

，三棱锥P-CED的高为PA=

3

，
∴V_P-GED=

1

2

V_P-CED=

1

2

×

1

3

×

3

4

×

3

=

1

8

．

点评：本题综合考查了空间中点、线、面的位置关系，属于中档题．