Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），设圆C的半径为1，圆心在直线l：y=2x-4上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点B（2，4）作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

考点：圆的切线方程,圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）联立直线l与直线y=x-1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．

解答： 解：（1）由

y=2x-4 y=x-1

，可得

x=3 y=2

，
∴圆心C（3，2）．
若k不存在，x=2，满足题意；
若k存在，设切线为：y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，可得圆心到切线的距离d=r，
即

|3k-2+4-2k|

k2+1

=1，
解得：k=-

3

4

，
∴切线的方程为x=2或y-4=-

3

4

(x-2)；
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化简得：x²+（y+1）²=4，
∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=

a2+(2a-3)2

，
∴1≤

a2+(2a-3)2

≤3，
解得：0≤a≤

12

5

．

点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．